Question

（2007•红桥区一模）如图：△ABC为边长是a的等边三角形，△ABC所在平面外两点E、F满足BE⊥平面ABC，CF⊥平面ABC，且CF=AB=2BE，M为AC中点．
（1）求证：AF⊥BM；
（2）求平面AEF与平面ABC所成的二面角；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（1）由于CF⊥平面ABC，所以AC是AF在平面ABC的射影，通过BM⊥AC证出AF⊥BM．
（2）延长FE、CB交于一点N，则AN是平面AEF与平面ABC的交线．通过AN⊥AC，AN⊥FA，得出∠FAC为所求二面角的平面角，易得∠FAC=45°．
（3）V=V_F-CAN-V_E-ABN，

解答：（本小题满分12分）
解：（1）∵CF⊥平面ABC，∴AC是AF在平面ABC的射影
∵△ABC为边长是a的等边三角形，M为AC中点
∴BM⊥AC，∴AF⊥BM----------------------（3分）
（2）延长FE、CB交于一点N，则AN是平面AEF与平面ABC的交线
∵BE⊥平面ABC，CF⊥平面ABC
∴BE∥CF，∵CF=AB=2BE，∴BE是△FCN的中位线B是CN的中点，
∴AN∥BM，AN⊥AC
∴AN⊥FA，∴∠FAC为所求二面角的平面角-----------（6分）
∵CF=AC，∴∠FAC=45°----------------------------（7分）
（3）V=V_F-CAN-V_E-ABN--------------------------------（9分）
=

1

3

×

1

2

×a×

3

a ×a-

1

3

×

1

2

×2a×a×sin120°×

1

2

a--------（11分）
=

3

6

a3-

3

12

a3=

3

12

a3----------------（12分）
注：第（2）问利用cosθ=

S′

S

指明S′，S也可；第（3）问
可用分割的方法，相应给分．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角、体积求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．