Question

已知函数f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

2

]，且f（α）=3，求α的值．

Answer 1

分析：利用两角和与差的正弦函数与倍角的余弦化成一个角的三角函数形式．
（I）根据y=sinx的最小正周期与最值，求解f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2的最小正周期与最小值．
（II）利用f（α）=3，求出sin（2α+

π

4

）=

2

2

，再根据2α+

π

4

的范围求出2α+

π

4

的值，从而求出α．

解答：解：f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)+4cos2x=

2

•sin2x•cos

π

4

-

2

•cos2x•sin

π

4

+4•

1+cos2x

2

=sin2x-cos2x+2cos2x+2=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，
函数f（x）的最小值为2-

2

．                                
（Ⅱ）由f（α）=3得

2

sin(2α+

π

4

)+2=3．
所以sin(2α+

π

4

)=

2

2

．
又因为α∈[0，

π

2

]，所以

π

4

≤2α+

π

4

≤

5π

4

，
所以2α+

π

4

=

π

4

或2α+

π

4

=

3π

4

．
所以α=0或α=

π

4

．

点评：本题考查了两角和与差的正弦函数，倍角的余弦公式，考查了三角函数的最小正周期及最值的求法，解答此类题的关键是化简三角函数为一个角的三角函数形式．