Question

（本题满分10分）如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形， 
（1）求多面体ABCDS的体积；
（2）求AD与SB所成角的余弦值；
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

Answer 1

解：（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。
所以…………3分
（II）由题可知DA、DA、DC两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系




AD与SB所成的角的余弦为…………6分
（III）设面SBD的一个法向量为

又
设面SAB的一个法向量为

，
所以所求的二面角的余弦为 …………10分
解法二：（I）同解法一

（II）矩形ABCD，

=

   AD//BC，即BC=a，

   要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角。…………3分
在中，由（1）知面ABCD。

CD是CS在面ABCD内的射影，且


BC与SB所成的角的余弦为
从而SB与AD的成的角的余弦为…………6分
（III）
面ABCD。
BD为面SDB与面ABCD的交线。

SDB
于F，连接EF
从而得：
为二面角A—SB—D的平面角
在矩形ABCD中，对角线
中，
由（2）知在
而

为等腰直角三角形且
           ，
所以所求的二面角的余弦为…………10分

解析