Question

20.

    如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1.

   （Ⅰ）求BF的长；

   （Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离.

Answer 1

20.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC₁于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁.  ∴DF=C₁H=2.

（Ⅱ）延长C₁E与CB交于G，连AG，

则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，

由三垂线定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且

AG面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），

C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC₁F为平行四边形，

（II）设为平面AEC₁F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC₁F的距离为