Question

将半径为R的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是（　　）

• A．

  3 (2- 3 )

  3

• B．

  3 (3-2 2 )

  3

• C．

  2 2 - 3

  3

• D．

  3 3 -2 2

  3

Answer 1

分析：作VO′⊥平面ABC，垂足为O′作AD⊥BC，连接VD，则O′在AD上，∠VDO′为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，求得AB，VC的关系，即可求得结论．

解答：解：由题意，作VO′⊥平面ABC，垂足为O′作AD⊥BC，连接VD，则O′在AD上，
∴∠VDO′为正三棱锥的侧面与底面所成的二面角
设AB=a，VC=b，则

2 b=2R a2=b2+b2-2b2cos30°

∴b=

2

R，a=(

3

-1)R
∴VD=

b2- a2 4

=

3 +1

2

R
∵O′D=

3

6

a=

3 ( 3 -1)

6

R
∴cos∠VDO′=

O′D

VD

=

3 ( 3 -1) 6 R

3 +1 2 R

=

3 (2- 3 )

3

故选A．

点评：本题考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出面面角，确定AB，VC的关系是关键．