Question

已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．

(2) 令a_n＝，对一切自然数n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然数a,并证明之．

(3) 求证：∈Ｎ).

Answer 1

证明见解析

解析:

(1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.

设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），

   

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，

故函数f(x)的图象关于点P()对称.

(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入a_n的表达式，化简可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．

下面用数学归纳法证明．

设n=k(k≥２)时，3^ｋ＞ｋ^２．

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３·３^ｋ＞３ｋ^２

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）

∴３^ｎ＞ｎ^２.

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ

令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：