Question

【题目】

已知函数（是自然对数的底数）.

（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；

（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）（3）相等，一个.

【解析】

（1）求出在的切线，与联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则；（2）分，，根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.

（1），

所以在处的切线为

即：

与联立，消去得，

由知，或

（2）

①当时，在上单调递增，且当时，，

，故不恒成立，所以不合题意 ；

②当时，对恒成立，所以符合题意；

③当时令，得，

当时，，

当时，，

故在上是单调递减，在上是单调递增,

所以

又，，

综上：

(3)当时，

由（2）知，

设，

则，

假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，

令得：，

因为， 所以.

令，则，

当是，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

,故方程有唯一解为1，

所以存在符合条件的，且仅有一个.