Question

（2011•天津模拟）已知数列{a_n}满足：a₁=3，an+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（1）证明数列{

an-1

an-2

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2；
（3）设c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，

a1-1

a1-2

=2≠0，由此能够证明数列{

an-1

an-2

}为等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，所以当n≥2时，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，由此能证明S_n＜2．
（3）cn=n2(an-2)=

n2

2n-1

⇒cncn+1=

n2(n+1)2

(2n-1)(2n+1-1)

，令

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＞1，所以[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，解得n=1，由此能够求出c_nc_n+1的最大值．

解答：（1）证明：∵

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，（2分）
又

a1-1

a1-2

=2≠0，
∴{

an-1

an-2

}等比数列，且公比为2，（3分）
∴

an-1

an-2

=2n，
解得an=

2n+1-1

2n-1

．（4分）
（2）证明：bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，（5分）
∴当n≥2时，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

（6分）
Sn=b1+b2+b3+…+bn＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2．（8分）
（3）解：cn=n2(an-2)=

n2

2n-1

⇒cncn+1=

n2(n+1)2

(2n-1)(2n+1-1)

（9分）
令

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＞1，（10分）
∴[（n+2）²-4n²]2ⁿ＞（n+2）²-n²，（11分）
∴（3n+2）（2-n）2ⁿ＞4n+4，
解n=1．

cn+1cn+2

cncn+1

=

cn+2

cn

=

(n+2)2

2n+2-1

×

2n-1

n2

＜1⇒n≥2．（12分）
所以：c₁c₂＜c₂c₃＞c₃c₄＞…
故(cncn+1)max=c2c3=

12

7

．（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，计算量大，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．