Question

已知函数：（1）y=x+

4

x

（x＞0），（2）y=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），（3）y=

x2+13

x2+9

，（4）y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)（0＜x＜

π

2

），其中以4为最小值的函数的序号为

（1）

．

Answer 1

分析：由基本不等式，我们可以分别求出题目中四个函数的值域，然后逐一比照后，即可得到答案．

解答：解：（1）中y=x+

4

x

（x＞0）
则y∈[4，+∞），
故y=x+

4

x

（x＞0）的最小值是4，即（1）符合要求；
（2）中y=cosx+

4

cosx

（0＜x＜

π

2

），
则y∈（5，+∞），即（2）不符合要求；
（3）中y=

x2+13

x2+9

=

x2+9

+

4

x2+9

由于

x2+9

≥3，当

x2+9

=3时，
y=

x2+13

x2+9

取最小值是4

1

3

，即（3）不符合要求；
（4）中y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)=

5

2

+

1

2

（cotx+4tanx）
∵0＜x＜

π

2

，
∴cotx+4tanx≥4
∴y∈[4

1

2

，+∞），
故y=

1

2

(1+cotx)(1+4tanx)（0＜x＜

π

2

）的最小值是4

1

2

，即（4）不符合要求；
故答案为：（1）

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，基本不等式，其中结合基本不等式，求出各个函数的值域，是解答本题的关键．