题目内容

已知焦点（设为F₁，F₂）在x轴上的双曲线上有一点P（x₀， $数学公式$ ），直线y= $数学公式$ x线的一条渐近线，当 $数学公式$ • $数学公式$ =0，双曲线的一个顶点坐标是

A.
（ $数学公式$ ，0）
B.
（ $数学公式$ ，0）
C.
（2，0）
D.
（1，0）

A
分析：首先由直线y= $\text{[math]}$ x是渐近线得出b²=3a²，再将p点坐标代入椭圆方程得出x₀²= $\text{[math]}$ ，然后根据 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0?PF₁⊥PF₂，进而得到|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² 并利用c²=a²+b²，求出a即可．
解答：∵双曲线在x轴上，直线y= $\text{[math]}$ x是渐近线
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即b²=3a²
设双曲线方程为 $\text{[math]}$ F₁（-C，0）F₂（C，0）
把P（x₀， $\text{[math]}$ ）代入方程整理得x₀²= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0∴PF₁⊥PF₂
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²即（x₀+c）²+ $\text{[math]}$ +（x⁰-c）²+ $\text{[math]}$ =4c²
整理得a²-c²=-6
∵c²=a²+b²=4a²
∴-3a²=-6
∴a= $\text{[math]}$
故选A．
点评：本题考查了双曲线的简单性质，根据 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0?PF₁⊥PF₂，?PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，是解题的关键，属于中档题．