题目内容

已知函数f（x）=cos（ω•x-θ）（其中ω＞0，θ∈[0，π]）是奇函数，又函数f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称，且在区间（0， $数学公式$ ）内函数f（x）没有零点．
（1）求θ和ω的值；
（2）函数f（x）图象是中心对称图形，请写出所有对称中心的坐标；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

解：（1）∵函数f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，
∴cosθ=0，又θ∈[0，π]），则θ= $\text{[math]}$ …2．
奇函数f（x）的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，且在区间（0， $\text{[math]}$ ）内函数f（x）没有零点，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，T= $\text{[math]}$ ，
∴ω= $\text{[math]}$ =6…6
（2）函数f（x）=cos（6x- $\text{[math]}$ ），由f（x）=0得6x- $\text{[math]}$ =kπ- $\text{[math]}$ …7
∴x= $\text{[math]}$ （k∈Z）．函数f（x）图象的对称中心是（ $\text{[math]}$ ，0），其中k∈Z…9
（3）f（x）=cos（6x- $\text{[math]}$ ）=sin6x，
∴由2kπ- $\text{[math]}$ ≤6x≤2kπ+ $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （k∈Z）…11
∴函数f（x）的单调递增区间是[ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]（k∈Z）…12
分析：（1）由f（x）=cos（ω•x-θ）是奇函数，可得f（0）=cosθ=0，又θ∈[0，π]，可求得θ，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，T= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求得ω；
（2）由（1）可得，f（x）=cos（6x- $\text{[math]}$ ），由f（x）=0即可求得其对称中心；
（3）f（x）=cos（6x- $\text{[math]}$ ）=sin6x，由2kπ- $\text{[math]}$ ≤6x≤2kπ+ $\text{[math]}$ 可求得函数f（x）的单调递增区间．
点评：本题考查余弦函数的单调性与奇偶性，θ和ω的值的确定是关键，也是难点所在，考查综合分析与转化运用的能力，属于中档题．