题目内容

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f(
1
2
)=-1，对任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又数列an满足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an 2
，
设bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（2）证明数列f（an）是等比数列，并求f（an）的表达式和
lim
n→∞
bn的值；
（3）设cn=
n
2
bn+2，是否存在m∈N+，使得对任意n∈N+，cn＜
6
7
log
2
2
m-
18
7
log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）令x=y=
1
2
可得，f(
1
2
)+f(
1
2
)=f(
1
2
+
1
2
1+
1
2
×
1
2
)=f(
4
5
)=-2，从而可求t
（2）由a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an 2
可令x=y=an可得2f(an)=f(
2an
1+
a
2
n
)=f(an+1)，从而可证，结合等比数列的通项公式可求f（an）；利用等比数列的求和公式可求bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)

（3）用等比数列的求和公式可求bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，代入可求cn=
n
2
bn+2=-n+
n
2n
+2，由cn 是递减数列，可得cn≤c1=-1+
1
2
+2=
3
2
，只须6lo
g
2
2
m-18log2m＞
21
2
，解不等式可求m的最小正数值
解答：解：（1）令x=y=
1
2
可得，f(
1
2
)+f(
1
2
)=f(
1
2
+
1
2
1+
1
2
×
1
2
)=f(
4
5
)=-2
∵f(t)=2f(
1
2
)=-2∴t=
4
5

（2）∵a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an 2

令x=y=an可得2f(an)=f(
2an
1+
a
2
n
)=f(an+1)，f(a1)=f(
1
2
)=-1
∴数列{f（an）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列
∴f（an）=-2n-1
bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
=-（
1
20
+
1
21
+…
1
2n-1
）
=-
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=-2+(
1
2
)n-1
∴
lim
x→∞
bn=
-1
1-
1
2
=-2．
（3）由（2）得，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
=-（
1
20
+
1
21
+…
1
2n-1
）
∴cn=
n
2
bn+2=-n+
n
2n
+2，∴cn 是递减数列，
∴cn≤c1=-1+
1
2
+2=
3
2
，只须6lo
g
2
2
m-18log2m＞
21
2
，
即4log22m-12log2m-7＞0，
解可得，log2m＜-
1
2
或log2m＞
7
2

∴0＜m＜
2
2
≈0.71或，m＞8
2
≈11.31
∴当m≥12，且m∈N* 时，7cn＜6log22m-18log2m 对任意n∈N* 恒成立，
∴m 的最小正整数值为12．
点评：本题主要考查了借、借助抽象函数的关系求解数列的项及通项公式，解题的关键是要根据函数关系合理的赋值，还考查了等比数列的通项公式及求和公式及数列单调性求数列最值的应用，综合的知识较多．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．
已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．
（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
4018
4018
．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又数列{an}满足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（an）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
1
g(n)
，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．
已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，则f（2013）=
 
．

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