题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，
，
，动点
满足：直线
与直线
的斜率之积恒为
，记动点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点位于第一象限，过点
，
分别作直线
，直线
，直线
，
交于点
.
①若点的横坐标为-1，求点的坐标；
②直线与曲线交于点
，且
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）①点
的坐标为
②
【解析】
（1）设出动点坐标，根据斜率公式，结合已知可以直接得到曲线
的方程；
（2）①设直线
的方程根据已知，可以得到
的直线方程，解方程组求出的坐标，再判断已知的两直线所过的定点，最后求出的坐标；
②直线
与曲线的方程联立，根据所给的向量式子，结合根与系数关系最后可以求出
的取值范围.
解析：（1）设动点
，由
.
（2）①设直线：
，
由位于第一象限得
，
则由
，
知
，
联立
，
由题易得直线和
的方程分别为：：
，：
.
解得其交点
的坐标为
，由
，解得
，
∵，∴
.
由此可得点的坐标为.
②联立，
，
由根与系数的关系有
.
由
.
因为
.
【题目】为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.
为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“
，
，
”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示.
测试分数 | 分数对应的等级 | 贡献的积分 |
|
| 1分 |
|
| 2分 |
|
| 3分 |
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“等”和“非等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“等”的概率；
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“等”的人数为
，求的分布列和数学期望
；
（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为
和
，用样本估计总体，求和的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？
