Question

如图，F是椭圆的左焦点，A，B分别是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线相切
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A的直线l₂与圆M交于P，Q两点，且，求直线l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，所以，故，所以BC得方程为，由此入手能得到所求的椭圆方程．
（2）因为，所以∠PMQ=120°．所以M到直线l₂的距离等于1．依题意，直线l₂的斜率存在，设直线l₂：y=k（x+2），所以，由此能得到所求的直线l₂的方程．
解答：解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即（2分）
所以A（-2c，0），，故，
所以BC得方程为（4分）
令y=0，得x=3c，即C（3c，0），所以圆M的半径为，圆心M（c，0）
因为圆M恰好与直线相切，
所以=2c，∴c=1，∴a=2，b=
故所求的椭圆方程为（8分）
（2）因为，
所以∠PMQ=120°．所以M到直线l₂的距离等于1（11分）
依题意，直线l₂的斜率存在，设直线l₂：y=k（x+2），即kx-y+2k=0
所以，解得，
故所求的直线l₂的方程为（15分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．