Question

已知椭圆的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=。设P、Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R(，0)，
(1)求椭圆的方程；
(2)试证：对于所有满足条件的P、Q，恒有|RP|=|RQ|。

Answer 1

解：(1)椭圆的一个焦点在直线l：x=1上，所以c=1，
又因为离心率e=，即=，
所以a=2，从而b²=3，
所以椭圆的方程为；
(2)证明：设T(1，y₀)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
则=(，y₀)，=(x₂-x₁，y₂-y₁)，=(x₂-x₁)+y₀(y₂-y₁)．
又因为P、Q都在椭圆上，
所以，
两式相减得(x₁-x₂)(x₁+x₂)+(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0，
因为点T是PQ的中点，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
于是(x₁-x₂)+y₀(y₁-y₂)=0，
所以(x₁-x₂)+y₀(y₁-y₂)=0，
即=0，所以RT⊥PQ，
即RT是线段PQ的垂直平分线，所以恒有|RP|=|RQ|。