Question

【题目】已知过定点的动圆是与圆相内切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由题易知，可得为定值，利用椭圆的定义求得结果；

(2)设所在直线方程为椭圆联立，表示出AB的长度和到直线的距离，求得的面积，再由题k与b的关系，可得答案.

解:(1)圆的圆心为,半径为,

设圆的半径为,由题意知点在圆内.

可得

所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,

得

所以动圆圆心的轨迹方程为

(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得

可得……①设,

则是方程①的两不相等的实根,得

得

又点到直线的距离

所以的面积

由题意知,

得

又

代入上式得

得

(也可直接用垂直平分线过点得到关系)

当时,

当时,有最大值

当时,

当时,有最大值

所以面积的最大值为