Question

已知函数f(x)＝x³＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

Answer 1

解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1.

∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，

即13x－y－32＝0.

(2)设切点为(x₀，y₀)，

则直线l的斜率为f′(x₀)＝3x＋1，

∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x₀)＋x＋x₀－16.

又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x₀)＋x＋x₀－16，

整理得x＝－8，∴x₀＝－2，

∴y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)²＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x₀，y₀)，则f′(x₀)＝3x＋1＝4，

∴x₀＝±1，∴或

所以切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)．

即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.