Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx(p，q为常数）
（1）若f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，且x₂-x₁＞1，求证：p²＞2（p+2q）；
（2）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，且在x∈[-6，6]时，函数y=f（x）的图象在直线l：15x-y+c=0的下方，求c的取值范围？

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导数，根据题意可知x₁，x₂是导函数所对应方程的两个根，将条件x₂-x₁＞1转化成（x₂-x₁）²＞1，然后利用根数系数的关系建立不等关系，化简即可证得结论；
（2）先根据f（x）在x=1和x=3处取得极值，求出f（x）的解析式，令F（x）=f（x）-（15x+c），求出F（x）的极值，
将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，使F（x）的最大值小于零即可求出c的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx，∴f′(x)=x2+(p-1)x+q
又x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，则x₁，x₂是x²+（p-1）x+q=0的两根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q（2分）
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-p）²-4q，（4分）
∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，∴（1-p）²-4q＞1
即p²-2p-4q＞0，∴p²＞2（p+2q）
（2）由题意，

f′(1)=0 f′(3)=0

即

p+q=0 3p+q=-6

∴

p=-3 q=3

（7分）
∴f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
令F（x）=f（x）-（15x+c）=

1

3

x2-2x2-12x-c，∴F'（x）=x²-4x-12
令F′（x）=0，∴x²-4x-12=0∴x₁=-2，x₂=6
当x∈（-6，-2）时，F′（x）＞0，F（x）在[-6，-2]上递增，
当x∈（-2，6）时，F′（x）＜0，F（x）在[-2，6]上递减
∴F(x)max=F(-2)=

40

3

-c(10分)
令F（-2）＜0，即

40

3

-c＜0，∴c＞

40

3

（11分）
∴所求c的取值范围为(

40

3

，+∞)（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．