Question

（本小题满分14分）四棱锥 中，底面是正方形，，垂足为点，，点分别是的中点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求四面体的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3） ．

【解析】

试题分析：（1）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO∥PB；

（2）证明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；

（3）利用等体积，即，从而可得结论．

试题解析：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且

∵点O，M分别是PD，BD的中点

∴MO∥PB，

∵PB平面ACM，MO平面ACM

∴PB∥平面ACM．

（2）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD

∴PA⊥BD

∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD

又∵

∴BD⊥平面PAC

在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD

∴MN⊥平面PAC．

（3）∵，，

∴．

考点：线面平行判定；线面垂直判定；等体积法求体积．