题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

（I）证明：f（x）= $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$ ，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a- $\text{[math]}$ ）-（a- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为x₁0， $\text{[math]}$ ，
所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a- $\text{[math]}$ =-（a- $\text{[math]}$ ），
所以2a= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，即a= $\text{[math]}$ ．
故当a= $\text{[math]}$ 时，f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a= $\text{[math]}$ ，f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
因为2^x＞0，所以0＜ $\text{[math]}$ ＜1，-1＜- $\text{[math]}$ ＜0，所以- $\text{[math]}$ ＜f（x）＜ $\text{[math]}$ ．
故f（x）的值域为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（I）应用增函数的定义证明；
（II）根据奇函数定义，在定义域内f（-x）=-f（x）恒成立可求a值；
（Ⅲ）利用2^x＞0及函数单调性可求．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，其定义是解决该类问题的基本方法．