题目内容
18．如图4，己知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4．
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．
18．解法一 (Ⅰ)连结AC、BD，设AC∩BD=O.因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．
(Ⅱ)由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由(Ⅰ)，PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0，0，1)，A(2
，0，0)，Q(0，0，-2)，B(0，2
，0)．
所以
=(-2
，0，-2)，
=(0，2
，-1).
于是cos＜
，
＞=
．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos
．
(Ⅲ)由(Ⅱ)，点D的坐标是(0，-2
，0)，
=(-2
，-2
，0)，
=(0，0，-3)，
设
=(x，y,z)是平面QAD的一个法向量,由
得
．
取x=1，得
=(1，-1，-
)．
所以点P到平面QAD的距离d=
．
解法二 (Ⅰ)取AD的中点M，连结PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.
从而AD⊥平面PQM．又PQ
平面PQM，所以PQ⊥AD．
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD．
(Ⅱ)连结AC、BD，设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．
取OC的中点N，连结PN.
因为
，所以
，从而AQ∥PN，∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角．
连结BN.
因为PB=
=3，
PN=
，
BN=
，
所以cos∠BPN=
.
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM．
过P作PH⊥QM于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．
连结OM，因为OM=
AB=2=OQ，所以∠MQP=45°．
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=
．
即点P到平面QAD的距离是
．
