Question

已知f（x）是R上的奇函数，且f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），当0≤x≤3时，f（x）=x+sinx，则f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由已知f（x）是R上的奇函数，且f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），我们易得f（x）是周期函数，且周期为6，则由当0≤x≤3时，f（x）=x+sinx，我们不难得到一个周期内函数f（x）的解析式，然后根据周期性解决问题．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函数
且当0≤x≤3时，f（x）=x+sinx
∴当-3≤x≤3时，f（x）=x+sinx
又∵f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），
故函数f（x）是T=6的周期函数
则f（2010）=f（0）=0
故答案为：0

点评：若函数f（x）的图象关于（a，0）点对称，又关于直线x=b对称，则函数一定为周期函数且T=4|a-b|．