Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=-2，且f（x+1）=f（x）+x-1，试求f（x）的表达式，并求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：由f（0）=-2，可得c=-2，由f（x+1）=f（x）+x-1建立方程组可解ab的值，再由二次函数的图象可知单调区间．

解答：解：设f（x）解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（0）=-2，∴c=-2．
又f（x+1）=f（x）+x-1，∴a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x-1即
2ax+a+b=x-1，由

2a=1 a+b=-1

解得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴f（x）=

1

2

x2-

3

2

x-2
配方得，f（x）=

1

2

(x-

3

2

)2-

25

8

结合二次函数的图象可知：
f（x）的单调递减区间为（-∞，

3

2

）；f（x）的单调递增区间为（

3

2

，+∞）

点评：本题为二次函数的解析式的求解，再根据函数的解析式求其单调区间，属基础题．