Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF．
（1）求证：平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中D、E分别是棱PA、PB的中点，根据三角形中位线定理，我们可以得到DE∥AB，由线面平行的判定定理可得DE∥平面PAB，同理可证DF∥平面PAB，进而由面面平行的判定定理，我们可得平面DEF∥平面ABC；
（2）若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，我们可得AB=AC=

2

，此时二面角A-EF-D有两种方法：
①几何法：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，则∠AGD是二面角A-EF-D的平面角，解△AGD即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．
②向量法：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，分别求出平面AEF与平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-EF-D的平面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵D、E分别是棱PA、PB的中点，
∴DE是△PAB的中位线，∴DE∥AB，
∵DE?平面ABC，AB?平面ABC，
∴DE∥平面ABC，…（2分）
同理DF∥平面ABC
∵DE∩DF=D，DE?平面DEF，
DF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面ABC．…（4分）
（2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：
解法1：由已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=BC=2，
∴AB²+AC²=BC²=4，
∴三棱锥P-ABC的体积为V=

1

3

×PA×S△ABC=

1

3

×PA×

1

2

×AB×AC
=

1

6

×2×AB×AC≤

1

3

×

AB2+AC2

2

=

1

3

×

BC2

2

=

2

3

．
当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为

2

3

，此时AB=AC=

2

．
解法2：设AB=x，在△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

4-x2

（0＜x＜2），
∴三棱锥P-ABC的体积为V=

1

3

×PA×S△ABC=

1

3

×PA×

1

2

×AB×AC=

1

3

x

4-x2

…（6分）
=

1

3

4x2-x4

=

1

3

-(x2-2)2+4

，
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，∴当x²=2，即x=

2

时，V取得最大值，其值为

2

3

，此时AB=AC=

2

．…（8分）
求二面角A-EF-D的平面角的余弦值..，给出如下两种解法：
解法1：作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，
∵PA⊥平面ABC，平面ABC∥平面DEF，∴P A⊥平面DEF，
∵EF?平面DEF，∴P A⊥EF．
∵DG∩PA=D，∴EF⊥平面PAG，AG?平面PAG，∴EF⊥AG，
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角．…（10分）
在Rt△EDF中，DE=DF=

1

2

AB=

2

2

，EF=

1

2

BC=1，∴DG=

1

2

．
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

1+ 1 4

=

5

2

，
∴∠AGD=

DG

AG

=

1 2

5 2

=

5

5

．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为

5

5

．…（14分）
解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），D（0，0，1），E（

2

2

，0，1），
F（0，

2

2

，1）．∴

AE

=(

2

2

，0， 1)，

EF

=(-

2

2

，

2

2

，0)．…（9分）
设

n

=(x，y，z)为平面AEF的法向量，
则

n • AE =0 n • EF =0

，
即

2 2 x+z=0 - 2 2 x+ 2 2 y=0

，令x=

2

，则y=

2

，z=-1，
∴

n

=(

2

，

2

，-1)为平面AEF的一个法向量．…（11分）
∵平面DEF的一个法向量为

DA

=(0， 0，-1)，
∴cos＜

n

， 

DA

＞=

n ，  DA

| n || DA |

=

1

( 2 )2+( 2 )2+(-1)2×1

=

5

5

，…（13分）
而

n

与

DA

所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小．
∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为

5

5

．…（14分）．

点评：本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，平面与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是证得DE∥平面PAB，DF∥平面PAB，（2）中几何法的关键是证得∠AGD是二面角A-EF-D的平面角，向量法的关键是求出平面AEF与平面DEF的法向量．