Question

【题目】如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）分别取中点，分别连接，可证明平面平面，可得，又，∴四边形为平行四边形，，从而可得平面；（2）以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

详解：（1）分别取中点，分别连接，则且

∵平面及平面都与平面垂直，

∴平面平面，

由线面垂直性质定理知，又，

∴四边形为平行四边形，

又平面，∴平面.

（2）如图，以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，则.

平面的一个法向量，设平面的法向量，

则，取得

∴，

注意到此二面角为钝角，

故二面角的余弦值为.