Question

已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2an-1(n∈N*

）
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{nan}的前n项和Tn.．

Answer 1

分析：（1）由递推公式S_n=2a_n-1，可得n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，两式相减整理可得a_n=2a_n-2a_n-1
整理可得，a_n=2a_n-1，从而可得数列{a_n}为等比数列，结合等比数列的通项公式可求
（2）由（1）可得，T_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，考虑利用错位相减求和的方法求解

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-1
n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1
两式相减可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
即a_n=2a_n-2a_n-1
整理可得，a_n=2a_n-1
∵a₁=S₁=2a₁-1，a₁=1
数列{a_n}为首项为1，公比为2得等比数列
∴a_n=2^n-1
（2）T_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1
  2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
两式相减可得，-T_n=1+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n=2n-1-n•2n
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1求解数列的通项公式，数列求和的错位相减求和的方法的应用，要注意该求和方法是数列求和中的一个难点．