题目内容
在四边形ABCD中，
=
=（3，4），
+
=
，则四边形ABCD的面积是
| AB |
| DC |
| 1 | ||
|
|
| BA |
| 1 | ||
|
|
| BC |
| ||
|
|
| BD |
25
25
．分析：形如
的向量，由于它的模等于1，所以它被称为单位向量．本题的向量等式的左边是两个单位向量的和，右边是和平行四边形ABCD对角线BD共线且长度等于
的向量，由此可以证出AB与BC互相垂直且BD平分∠ABC，从而证出四边形
ABCD是正方形，最终可以求出四边形ABCD的面积．
| ||
|
|
| 2 |
ABCD是正方形，最终可以求出四边形ABCD的面积．
解答：解：∵向量
的模等于1，因而向量
是单位向量
∴向量
、
和
都是单位向量
设向量
、
的夹角为θ，
∵
+
=
∴由向量
、
为邻边构成的四边形是菱形，可得BD在∠ABC的平分线上
且有：(
+
) 2= (
) 2，即1+2cosθ+1=2⇒cosθ=0⇒θ=90°
∴∠ABD=45°，可得四边形ABCD是正方形
∵
=（3，4）
∴|
|=
=5
∴正方形ABCD的面积为S=52=25
故答案为：25
| ||
|
|
| ||
|
|
∴向量
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
设向量
| BA |
| BD |
∵
| 1 | ||
|
|
| BA |
| 1 | ||
|
|
| BC |
| ||
|
|
| BD |
∴由向量
| ||
|
|
| ||
|
|
且有：(
| 1 | ||
|
|
| BA |
| 1 | ||
|
|
| BC |
| ||
|
|
| BD |
∴∠ABD=45°，可得四边形ABCD是正方形
∵
| AB |
∴|
| AB |
| 32+42 |
∴正方形ABCD的面积为S=52=25
故答案为：25
点评：本题考查了向量在几何中的应用，属于中档题．本题考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积的性质，不失为一道有价值的综合题．
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