Question

定义在R上的偶函数f（x），?x∈R，恒有f（x+

3

2

）=-f（x），f（-1）=1．f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（　　）

A．-2

B．-1

C．1

D．2

Answer 1

分析：由f（x）=-f（x+

3

2

）=-〔-f（x+3）〕=f（x+3），知函数y=f（x）周期为3．所以f（1）=f（-1）=1，f（2）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-22，…，2012=3×670+2，由此能求出f（1）+f（2）+…+f（2012）．

解答：解：∵f（x）=-f（x+

3

2

）=-〔-f（x+3）〕=f（x+3），
∴函数y=f（x）周期为3
所以f（1）=f（-1）=1
    f（2）=f（-1）=1
    f（3）=f（0）=-2
    …
2012=3×670+2
所以f（1）+f（2）+…+f（2012）=0+f（1）+f（2）=1+1=2．
故选D．

点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．