Question

函数f(x)是定义在[－1，0)U(0，1]上的偶函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝x3－ax(a∈R)． (1) 当x(0，1]时，求f(x)的解析式 (2) 若a＞3，试判断f(x)在(0，1]的单调性，并证明你的结论 (3) 是否存在a，使得当x∈(0，1]时，f(x)有最大值－1．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：当x(0，1)时，则－x[一1，0]，∴f(－x)=－x3＋ax∵f(x)为偶函数， 　　∴f(x)=－x3＋ax(x(0，1))．
(2)	由(1)知，x(0，1)时，f(x)=－x3＋ax，∴(x)=－3x2＋a．∵a＞3，0＜x≤1， 　　∴－3x2＋a＞0，即(x)＞0．∴f(x)在(0，1)上是增函数．
(3)	当a＞3时，f(x)在(0，1]上是增函数，f(x)max=f(1)=a－1=－1，得a=0(不合题意，舍去)． 　　当0≤a≤3时，(x)=－3x2＋a，令(x)=0，得x= 　　∴f(x)在x=处取最大值∴－＋a·=－1，即=－1，此方程无解． 　　当a＜0时，(x)=－3x2＋a＜0，f(x)在(0，1]上为单调减函数，∴f(x)在(0，1)上无最大值．综上所述，不存在a使x∈(0，1)时，f(x)有最大值－1