题目内容

已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，其中a，b，c，d是实数．

(Ⅰ)若函数f(x)在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)上都是增函数，在区间(－1，3)上是减函数，并且f(0)＝－7，(0)＝－18，求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)若a，b，c满足b2－3ac＜0，求证：函数f(x)是单调函数．

答案：
解析：

　　解(1)

　　由

　　又由于在区间上是增函数，在区间(－1，3)上是减函数，所以－1和3必是的两个根．

　　从而

　　又根据

　　(2)(x)＝3ax2＋2bx＋c．由条件b2－3ac＜0可知a≠0，c≠0．

　　因为为二次三项式，并且，

　　所以，当恒成立，此时函数是单调递增函数；

　　当恒成立，此时函数是单调递减函数．

　　因此，对任意给定的实数a，函数总是单调函数．


练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
A、-2B、2C、4D、-4
已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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