Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²-x，g（x）=ln（ax）
（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求出实数a的取值集合，不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）设g（x）的切点（x₀，ln（ax₀）），则g′（x₀）=

1

x0

=k=f′（x₀），及g（x₀）=kx₀-1可求得答案；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-ln（ax），则问题等价于h（x）_min≥0，h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x₁，x₂，不妨令x₁＜0＜x₂，利用导数可求得h（x）_min=h（x₂）≥0；由p（x₂）=0可对h（x₂）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x₂）≤0，由此刻求得x₂=1，进而求得a值；

解答：解（1）设g（x）的切点（x₀，ln（ax₀）），g′（x₀）=

1

x0

=k，
∴g（x₀）=ln（ax₀）=kx₀-1=0，∴ax₀=1，
设f（x）切点（x₀，f（x₀）），f′（x₀）=2ax₀-1=k=1，∴a=x₀=1，
∴a=k=1；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-ln（ax），即h（x）_min≥0，
h′（x）=

2ax2-x-1

x

，令p（x）=2ax²-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有两不等根x₁，x₂，x1x2=-

1

2a

＜0，不妨令x₁＜0＜x₂，
所以h（x）在（0，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以h（x₂）=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立，
因为p（x₂）=2ax22-x2-1=0，所以ax2=

1+x2

2x2

，
所以h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，且x2=

1+ 1+8a

4a

=

2

1+8a -1

，
令k（x）=

1-x

2

-ln

1+x

2x

=

1-x

2

+ln2x-ln(1+x)，
k′（x）=-

(x-1)(x+2)

2x(x+1)

，所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以k（x₂）≤k（1）=0，又h（x₂）=

1-x2

2

-ln

1+x2

2x2

≥0，所以x₂=1代入ax2=

1+x2

2x2

，a=1，
所以a∈{1}．

点评：本题考查导数的几何意义、闭区间上函数的最值、函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，根据问题恰当构造函数是解决该题目的关键，要认真领会．