Question

如图组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为2

2

+1，2

2

+1，1．
（Ⅰ）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD．若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 根据正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为2

2

+1，2

2

+1，1，从而可确定BA，BB₁的长．以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而可利用夹角公式求出直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（Ⅱ）假设存在

AP

=m

AC1

=(

2

m，2m，-

2

m)，利用

B1P

与平面ACD的法向量，得方程即可求解．

解答：解：（1）设BA=BC=BD=a，BB₁=b
由条件

ab+ 1 2 a2=2 2 +1 1 2 a2=1

⇒

a= 2 b=2

.(3分)
以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
A(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)，D(0，-

2

，0)，B1(0，2，0)，C1(

2

，2，0)，A1(0，2，

2

)(5分)
∵△ACD的重心G(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)∴

a

=

BG

=(

2

3

，-

2

3

，

2

3

)为平面ACD的法向量．(7分)
又

CA1

=(-

2

，2，

2

)，则cos?

a

，

CA1

＞=

- 2 2 3

2 2 • 6 3

=

6

6

(9分)
∴所求角的正弦值为

6

6

．(10分)
(2)令

AP

=m

AC1

=(

2

m，2m，-

2

m)(11分)

B1P

=

B1A

+

AP

=(

2

m，2m-2，

2

-

2

m)=λ

a

∴

2 m= 2 3 λ 2m-2=- 2 3 λ 2 - 2 m= 2 3 λ

∴无解(14分)
∴不存在满足条件的点P．

点评：本题以组合体为载体，考查线面角，考查线面存在，关键是构建空间直角坐标系．