题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．
分析：（1）当t=
时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而
=
=
，即PM=
PC，从而求出t的值；
（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量
，取平面ABCD的法向量
=(0，0，
)设所求二面角为θ，根据公式cosθ=
即可求出二面角M-BQ-C的大小．
| 1 |
| 3 |
| PM |
| PC |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量
| n |
| QP |
| 3 |
|
| ||||
|
|
解答：
解：（1）当t=
时，PA∥平面MQB
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴
=
=
…（2分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…（4分）
=
=
即：PM=
PC∴t=
…（6分）
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（0，
，0），Q（0，0，0），P（0，0，
）
设平面MQB的法向量为
=(x，y，z)，可得
而PA∥MN∴
，
取z=1，解得
=(
，0，1)…（10分）
取平面ABCD的法向量
=(0，0，
)设所求二面角为θ，
则cosθ=
=
故二面角M-BQ-C的大小为60°…（12分）
解：（1）当t=| 1 |
| 3 |
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴
| AQ |
| BC |
| AN |
| NC |
| 1 |
| 2 |
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN…（4分）
| PM |
| PC |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，
四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A（1，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
设平面MQB的法向量为
| n |
|
|
|
取z=1，解得
| n |
| 3 |
取平面ABCD的法向量
| QP |
| 3 |
则cosθ=
|
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．
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