Question

已知函数f(x)=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

．
（1）求f（x）的周期及单调增区间；
（2）当x∈[-π，0]时，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简f（x）把f（x）表示成一个正弦函数，利用周期的公式求出即可，根据正弦函数的图象可知单调区间为
[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]解出x即可得到函数的单调增区间；
（2）因为当2x-

π

3

=

π

2

+2kπ时函数有最大值，求出x即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)+

3

2

∴f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
又∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
所以f（x）的单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，(k∈Z)．
（2）令2x-

π

3

=

π

2

+2kπ，则x=kπ+

5π

12

（k∈Z），
∵-π≤x≤0，
∴当x=-

7π

12

时，f（x）有最大值1．

点评：考查学生掌握求函数周期方法的能力，利用正弦函数的单调性解决数学问题的能力，以及求三角函数最值的能力．