Question

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．                                     ……1分
O为BD中点，E为PD中点，
∴EO//PB．                                                             ……2分
EO平面AEC，PB平面AEC，                                         ……3分
∴ PB//平面AEC．                       
（Ⅱ）

证明：
PA⊥平面ABCD．平面ABCD，
∴．                                                          ……4分
又在正方形ABCD中且，                        ……5分
∴CD平面PAD．                                                       ……6分
又平面PCD，
∴平面平面．                                              ……7分
（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空
间直角坐标系．
                                         ……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．                                 ……9分
PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
设平面AEC的法向量为, ,
则 即 
∴
∴令,则.                                           ……11分
∴,                            ……12分
二面角的正弦值为.                                     ……13分
点评：证明线面平行和面面垂直时，要紧扣定理要求的条件，缺一不可，用向量求二面角时，要注意所求的二面角时锐角还是钝角.