Question

你能应用求导的方法求和S_n(x)=1+2x+3x²+…+nx^n-1(x≠0,n∈N^*)吗？

Answer 1

分析：由求导公式(xⁿ)′=nx^n-1,可联想到它是另外一个和式x+x²+x³+…+xⁿ的导数.因此可转化先求和，再利用导数运算使问题得以解决.

解：当x=1时.S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

当x≠1时，x+x²+x³+…+xⁿ=,

两边都是关于x的函数，求导得

S_n(x)=(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′,

即S_n(x)=1+2x+3x²+…+nx^n-1=.