Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．

（1）求PA的长；

（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】（1）如图，连接BD交AC于点O

∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD

以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．

又∵OD=CDsin=，

∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）

由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）

∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），

∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，

∴=6﹣=0，解之得z=2（舍负）

因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；

（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），

设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），

∵=0且=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），

同理，由=0且=0，解出=（3，﹣，2），

∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===

因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=