Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．

Answer 1

（1）∵PB⊥平面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴侧面PAC⊥侧面PBC．（4分）
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得：

P(0，0，4 2 )，B(0，0，0)，C(0，-4 2 ，0)，A(4 2 ，-4 2 ，0) 则E(0，-2 2 ，2 2 )，F(2 2 ，-2 2 ，2 2 ) AE =(-4 2 ，2 2 ，2 2 )， BF =(2 2 ，-2 2 ，2 2 )， ∴ AE • BF =-16，| AE |•| BF |=24 2 ，

∴cos＜ AE ， BF ＞=- 2 3 ， ∴AE与BF所成的角是arccos 2 3 (4分)

（3）平面EFB的法向量

a

=（0，1，1）
平面ABE的法向量为

b

=（1，1，1）
cos＜

a

，

b

＞=

6

3

，
∴二面角A-BE-F的平面角为arccos

6

3

．（4分）