Question

在四边形ABCD中,A、B为定点,C、D是动点,AB=,BC=CD=AD=1,△ABD与△BCD的面积分别为S与T.

(1)求S²+T²的取值范围;

(2)当S²+T²取得最大值时,求∠BCD的值.

Answer 1

思路分析:设BD=2x,利用正弦定理和余弦定理将S²+T²转化为x²的二次函数的形式求最值.求最值时注意x的取值范围.

解:(1)如右图,设BD=2x,则-1＜2x＜2,

∴＜x＜1.

在△CDB中,过C作⊥交于E,

∵==1,∴==x.

∴²=1-x²,

从而T²=(·)²=x²(1-x²)=x²-x⁴.

又S²=(AB·sinA)²=(sinA)²

=(1-cos²A)

=［1-()²］

=-(1-x²)²=-x⁴+2x²-.

∴S²+T²=-x⁴+2x²-+x²-x⁴

=-2(x²-)²+.

∴当x²=时,S²+T²取得最大值为.

∵1-＜x²＜1,

∴＜S²+T²≤,

即S²+T²的取值范围是(,］.

(2)当S²+T²=时,x=,=,此时∠BCD=120°.