Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知b=

5

，c=3，sin(B+C)=2sinB．
（I）求边a的长；
（II）求cos(B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（I）在三角形中，应用正弦定理写出关系式，根据sin（B+C）=2sinB及B+C=π-A得sinA=2sinB，表示出a得到结果．
（II）根据余弦定理做出角B的余弦值，是一个正数，得到这个角是一个锐角，根据两个角之间的关系求出正弦值，再把要求的式子用两角之和的余弦公式展开，得到结果．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

．
由sin（B+C）=2sinB及B+C=π-A得sinA=2sinB．
∴a=

bsinA

sinB

=

2bsinB

sinB

=2b=2

5

．
（II）在△ABC中，由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(2 5 )2+32-( 5 )2

2×3×2 5

=

2 5

5

．
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

．
∴cos(B+

π

6

)=cosBcos

π

6

-sinBsin

π

6

=

2 5

5

×

3

2

-

5

5

×

1

2

=

2 15 - 5

10

．

点评：本题考查解三角形的问题和三角函数的恒等变形，是一个基础题，解题的关键是正弦定理和余弦定理的综合应用，注意角的范围的分析．