题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx(a，b∈R)，且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则
a2+b2+6a+9
的取值范围是
(
2
2
，2)
(
2
2
，2)
．
分析：三次函数导函数是二次函数，开口向上，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，利用导函数可建立关于a，b的不等式，利用线性规划的知识可以求出取值范围．
解答：解：f′（x）=x2+ax+2b，由题意，
2b＞0
1+a+2b＜0
4+2a+2b＞0
，
又
a2+b2+6a+9
的几何意义是点（a，b）与（-3，0），
利用点（a，b）所确定的区域可求得其取值范围是(
2
2
，2)，
故答案为(
2
2
，2)
点评：利用函数在区间内取极值转化为导数为0的根在所在区间内是解题的关键，同时正确得出可行域，利用目标函数的几何意义解题是处理这道问题的技巧所在．
练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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