Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G..（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁
平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，
∴EG∥D₁F．
解：（Ⅱ）如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴=（2，1，0），=（0，2，-1）
设平面D₁EGF的法向量为=（x，y，z）
则由•=0，和•=0，得，
取x=1，得y=-2，z=-4，∴=（1，-2，-4）
又平面ABCD的法向量为（0，0，2）
以二面角C₁-D₁E-F的平面角为θ，
则cosθ=||=
故截面D₁EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
解：（Ⅲ）设所求几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积为V，
∵△EGB₁∽△D₁FC₁，D₁C₁=2，C₁F=1，
∴EB₁=D₁C₁=1，B₁G=C₁F=，
∴=EB₁•B₁G=•1•=，
=D₁C₁•C₁F=•2•1=1
故V_{棱台D1FC1-EGB1}=
∴V=V_正方体-V_{棱台D1FC1-EGB1}=2³-=．
分析：（I）根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理，易证得EG∥D₁F；
（Ⅱ）以D为原点分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（III）几何体ABGEA₁-DCFD₁由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁减去一个棱台D₁FC₁-EGB₁得到，分别求出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积和棱台D₁FC₁-EGB₁的体积，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，组合体的体积，线线平行的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，（2）的关系是求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，（3）的关键是分析出几何体ABGEA₁-DCFD₁由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁减去一个棱台D₁FC₁-EGB₁得到．