Question

（2012•惠州模拟）等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=

a2n-1

a2n

，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求证：T n≥

1

2 n

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，由此能求出a_n与b_n．
（2）由c_n=

a2n-1

a2n

，知cn=

2n-1

2n

，故T_n=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n-1

2n

．再用数学归纳法证明Tn≥

1

2 n

对一切正整数成立．

解答：解：（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）证明：∵c_n=

a2n-1

a2n

，
∴cn=

2n-1

2n

，
T_n=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n-1

2n

．
下面用数学归纳法证明Tn≥

1

2 n

对一切正整数成立．
①当n=1时，T1=

1

2

≥

2×1-1

2×1

，命题成立．
②假设当n=k时，命题当n=k时命题成立，
∴Tk≥

1

2 k

．
则当n=k+1时，Tk+1=Tk•

2k+1

2(k+1)

≥

1

2 k

•

2k+1

2(k+1)

=

1

2 k+1

•

2k+1

2 k k+1

=

1

2 k+1

4k2+4k+1 4k2+4k

≥

1

2 k+1

，这就是说当n=k+1时命题成立．
综上所述原命题成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用数学归纳法进行证明．