Question

12．已知椭圆C：x²+4y²=16．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴下半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将椭圆C的方程变成其标准方程即可求出a，c，所以可求其离心率e=$\frac{c}{a}$；
（Ⅱ）联立直线的方程y=kx+1与椭圆C的方程消去y得到（1+4k²）x²+8kx-12=0．若设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根据韦达定理即可求出线段EF中点M（$-\frac{4k}{1+4{k}^{2}}，\frac{1}{1+4{k}^{2}}$），而B（0，-2），根据已知条件知道BM⊥EF，所以可得到$-\frac{3+8{k}^{2}}{4k}=-\frac{1}{k}$，解出k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$，这样便得到直线EF的方程，根据点到直线的距离公式求圆心（0，0）到直线EF的距离，比较和圆半径的关系即可得出直线EF和圆的位置关系．

解答 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
∴a²=16，b²=4，从而c²=a²-b²=12；
因此$a=4，c=2\sqrt{3}$，
故椭圆C的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（II）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+4{y^2}=16\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kx-12=0；
由题意可知△＞0；
设点E，F的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），EF的中点M的坐标为（x_M，y_M），
则${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{{1+4{k^2}}}$；
因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰三角形；
所以BM⊥EF，
因此BM的斜率${k_{BM}}=-\frac{1}{k}$；
又点B的坐标为（0，-2）；
所以${k_{BM}}=\frac{{{y_M}+2}}{{{x_M}-0}}=\frac{{\frac{1}{{1+4{k^2}}}+2}}{{-\frac{4k}{{1+4{k^2}}}}}=-\frac{{3+8{k^2}}}{4k}$；
即$-\frac{{3+8{k^2}}}{4k}=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$；
亦即${k^2}=\frac{1}{8}$，所以$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；
故EF的方程为$±\sqrt{2}x-4y+4=0$；
又圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的圆心O（0，0）到直线EF的距离为$d=\frac{4}{{\sqrt{18}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
所以直线EF与圆相离．

点评 考查椭圆的标准方程，标准方程中的a，b，c的含义，离心率的计算公式e=$\frac{c}{a}$．韦达定理，中点坐标公式，相互垂直的两直线的斜率的关系，点到直线的距离公式，以及判断直线和圆的位置关系的方法．