Question

已知函数f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

(ω∈R，x∈R)的最小正周期为π，且当x=

π

6

时，函数有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1-sin (2ωx+

π

6

)，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1-sin(2x+

π

6

)．
（2）由x∈[0，π]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，列表作图即得所求．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

(ω∈R，x∈R)=

3

2

sin2ω x+1-

cos2ωx

2

 
=1-sin (2ωx+

π

6

)．
由于它的最小正周期为π，故

2π

ω

=π，∴ω=1．
故f（x）═1-sin(2x+

π

6

)．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．列表如下：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	8π 12	11π 12	π
sinx	1 2	1	0	-1	0	1 2
f（x）	1 2	0	1	2	1	1 2

如图：

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象和性质，属于中档题．