Question

已知函数f（x）=（x²-x-

1

a

）e^ax（a≠0）
（1）求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程
（2）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间
（3）当a＞0时，若不等式f（x）+

3

a

≥0，对x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后求出f（0），f'（0）的值，得到了切点坐标和切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）先求出f′（x）=0的值，讨论a与-2的大小关系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；
（3）讨论满足f′（x）=0的点将区间[-

3

a

，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+

3

a

]_min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．

解答：解：（1）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），f（0）=-

1

a

，f'（0）=-2
所以切线方程为2x+y+

1

a

=0
（2）令f′（x）=0则x=1或-

2

a

当a＜-2时，f（x）在（-∞，-

2

a

）和（1，+∞）上单调递减，在（-

2

a

，1）上单调递增；
当a=-2时，f′（x）≤0，f（x）在R上减函数；
当-2＜a＜0时，f（x）在（-∞，1）和（-

2

a

，+∞）上单调递减，在（1，-

2

a

）上单调递增；
（3）当a＞0时，

∵f（-

3

a

）＞0，f（1）＜0∴f（1）=-

1

a

e^a为最小值
∴-

1

a

e^a+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞）恒成立∴a∈（0，ln3]

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．