Question

已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-

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y²（2x-y+3），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令y=x，代入已知式子，变形可得f(x)=

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x3+x2+1；
（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点，求导数可得当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=

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，当x=0时，f（x）取极小值，f（x）_极小值=1，进而可得a的范围．

解答：解：（1）因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-

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y2(2x-y+3)，
∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-

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x2(2x-x+3)，即f(x)=

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x3+x2+1，
（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点
又因为f′（x）=x²+2x=x（x+2），
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=

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，
当x=0时，f（x）取极小值，f（x）_极小值=1，
∴1＜a＜

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点评：本题考查函数的极值，涉及根的存在性即个数的判断，属中档题．