Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
（3）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

Answer 1

分析：（1）因为函数是奇函数则f（-x）=-f（x）解出b的值又因为x=-1时，函数取极值1即f′（1）=0且f（1）=-1解出a、c即可；（2）利用导数得到函数为减函数f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，所以，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤1+1=2得证；（3）是证明题，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，过A，B两点的切线平行，∴f′（x₁）=f（x₂），可得x₁²=x₂²∵x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，由于过A点的切线垂直于直线AB，证出3x₁⁴-12x₁²+13=0无解．所以曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

解答：解：（1）函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即bx²=0对于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c
∵x=-1时，函数取极值1，
∴3a+c=0，-a-c=1
解得：a=

1

2

，c=-

3

2

（2）f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），则|f（x）|≤1，
当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤1+1=2
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，过A，B两点的切线平行，
∴f′（x₁）=f′（x₂），可得x₁²=x₂²
∵x₁≠x₂，
∴x₁=-x₂，则y1=-y2，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

，
由于过A点的切线垂直于直线AB，
∴(

3

2

x12-

3

2

)(

1

2

x12-

3

2

)=-1，
∴3x₁⁴-12x₁²+13=0，
∵△=-12＜0
∴关于x₁的方程无解．
∴曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及证明不等式的方法．