Question

设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（e，f（e））（其中e为自然对数的底数）处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）当a∈R时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得f′(x)=a-

1

x

，f′(e)=a-

1

e

=0，由此能求出a的值．
（Ⅱ）当a≤0时，f（x）=ax-2-lnx在[1，2]内是减函数，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=2a-2-ln2；当a＞0时，由f′(x)=a-

1

x

=0，得x=

1

a

，再由a＞1时，

1

2

≤a≤1，0＜a＜

1

2

三种情况进行分类讨论，由此能求出y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
（Ⅲ）构造g（x）=e^x-2-lnx，两次对g（x）求导，再令h（x）=g′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，再讨论0＜x＜m，x＞m，g（x）的单调性，得到g（x）＞g（m），由基本不等式证明g（m）＞0即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ax-2-lnx，
∴x＞0，f′(x)=a-

1

x

，
∵函数f（x）在点（e，f（e））（其中e为自然对数的底数）处的切线与x轴平行，
∴f′(e)=a-

1

e

=0，解得a=

1

e

．
（Ⅱ）解：当a≤0时，∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴f（x）=ax-2-lnx在[1，2]内是减函数，
∴函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=2a-2-ln2．
当a＞0时，由f′(x)=a-

1

x

=0，得x=

1

a

，
①若

1

a

＜1，即a＞1时，
f（1）=a-2，f（2）=2a-2-ln2，
f（2）-f（1）=a-ln2＞0，
∴函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为a-2；
②若1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1时，
∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=2a-2-ln2；
③若

1

a

＞2，即a＜

1

2

时，
∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=2a-2-ln2．
综上，y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为：
y_min=

2a-2-ln2，a≤1 a-2，a＞1

．
（Ⅲ）证明：：∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴令g（x）=f（x）-ax+e^x=e^x-2-lnx，
∵g′（x）=e^x-

1

x

，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x+

1

x2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，
当0＜x＜m时，h（x）＜0，则g（x）在（0，m）上递减，
g（x）＞g（m）=e^m-2-lnm=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0；
当x＞m时，h（x）＞0，则g（x）在（m，+∞）上递增，
g（x）＞g（m）=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0．
故当x＞0时，f（x）-ax+e^x＞0．

点评：本题考查导数的应用：判断函数的单调性，求函数的最小值，解题要注意分类讨论思想、等价转化思想以及构造函数的思想，考查函数的单调性和应用，属于中档题．