题目内容
【题目】已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，对于函数有下列几种描述：
①是周期函数； ②
是它的一条对称轴；
③
是它图象的一个对称中心； ④当
时，它一定取最大值；
其中描述正确的是__________．
【答案】①③
【解析】分析：本题函数的性质，先对已知
是定义在
的奇函数，且
为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确.
详解： 因为
是定义在上的奇函数，且
为偶函数，
所以
，①
，②
，③
由③知函数
有对称轴
，
由②③得
，
令
，则
，
，
故有
，
两者联立得
，
可见函数是周期函数，且周期为
，
由①知：
，代入上式得：
，
由此式可知：函数有对称中心
，由此证得①③是正确命题，
所以当
时，它取最大值或最小值，也可能不是最值，故④错误，故答案为①③.
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